Działania na macierzach
Definicja 1: Macierz
Macierz o \( m \) wierszach i \( n \) kolumnach nazywamy macierzą wymiaru \( m \times n \).
Macierz wymiaru \( m\times n \) utworzoną z elementów \( a_{ij} \) oznaczamy również symbolem \( A=(a_{ij})_{m\times n} \). W przypadku, gdy wymiar macierzy jasno wynika z kontekstu, stosujemy zapis \( A=(a_{ij}) \). Macierz, której wszystkie elementy są równe \( 0 \) nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem \( \mathbb{O}. \)
Zbiór macierzy wymiaru \( m\times n \) o elementach ze zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem \( \mathbb{R}^{m\times n} \), natomiast dla oznaczenia zbioru macierzy o elementach ze zbioru liczb zespolonych stosujemy zapis \( \mathbb{C}^{m\times n} \).
Definicja 2: Suma i różnica macierzy
- Sumą macierzy \( A \) i \( B \) (ozn. \( (A+B) \) nazywamy macierz \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy \( C \) jest sumą odpowiednich elementów macierzy \( A \) i \( B \) tj. dla każdej pary \( (ij) \), gdzie \( 1\leq i\leq m \), \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość \( c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. \)
- Różnicą macierzy \( A \) i \( B \) (ozn. \( A-B \)) nazywamy macierz \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy \( C \) jest różnicą odpowiednich elementów macierzy \( A \) i \( B \) tj. dla każdej pary \( (ij) \), gdzie \( 1\leq i\leq m \), \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość \( c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. \)
Wprost z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy tylko macierze takich samych wymiarów.
Przykład 1:
Wówczas
natomiast
Definicja 3: Mnożenie macierzy przez liczbę
Przykład 2:
Twierdzenie 1: Własności dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę
Niech \( A,B,C \) będą macierzami tego samego wymiaru. Zachodzą następujące własności:
- Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne tj. \( A+B=B+A \) oraz \( (A+B)+C=A+(B+C) \);
- Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania tj. \( A+\mathbb{O}=\mathbb{O}+A=A \);
- Dla macierzy \( A \) macierz \( -A \), określona jako \( -A=-1\cdot A \), jest elementem przeciwnym do \( A \) tj. \( A+(-A)=\mathbb{O} \);
- Mnożenie macierzy przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania macierzy tj. zachodzi \( \alpha\cdot(A+B)=\alpha\cdot A+\alpha\cdot B \);
- Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne tj. \( \alpha\cdot(\beta\cdot A)=(\alpha\cdot \beta)\cdot A \).
Definicja 4: Iloczyn macierzy przez macierz
Iloczynem macierzy \( A \) i \( B \) (ozn. \( A\cdot B \)) nazywamy macierz \( C=(c_{ij}) \) wymiaru \( {m\times n} \), której element \( c_{ij} \) jest określony wzorem
dla \( i=1,\ldots, m \), \( j=1,\ldots, n. \)
Zgodnie z definicją iloczyn macierzy \( A\cdot B \) jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy \( A \) jest równa liczbie wierszy macierzy \( B \). Otrzymana macierz \( A\cdot B \) ma tyle wierszy, co macierz \( A \) i tyle kolumn, co macierz \( B \).
Mnożąc macierze trzeba pamiętać, że działanie to nie jest przemienne.
Przykład 3:
Mnożąc macierz wymiaru \( 1\times 3 \) przez macierz wymiaru \( 3\times 1 \) otrzymaliśmy macierz wymiaru \( 1\times 1 \).
Wymnóżmy teraz
Mnożąc macierz wymiaru \( 3\times 1 \) przez macierz wymiaru \( 1\times 3 \) otrzymaliśmy macierz wymiaru \( 3\times 3 \).
Do mnożenia macierzy wygodnie jest stosować następujący schemat, zwany schematem Falka, polegający na odpowiednim ułożeniu mnożonych macierzy.
Mnożąc mianowicie macierz \( A \) przez macierz \( B \) zapisujemy obie macierze w tabeli następująco
przy czym symbolem \( C \) oznaczamy, jak w definicji, iloczyn \( A\cdot B \).
Następnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy \( A \) przez kolejne elementy pierwszej kolumny macierzy \( B \), otrzymane iloczyny sumujemy i zapisujemy wynik w lewym górnym rogu pola oznaczonego jako \( C, \) tj. w miejscu elementu \( c_{11} \). Podobnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy \( A \) przez kolejne elementy drugiej kolumny macierzy \( B \), sumujemy otrzymane iloczyny i zapisujemy wynik w miejscu elementu \( c_{12} \) itd.
Przykład 4:
Przykładowo, aby wyliczyć wartość elementu znajdującego się w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie macierzy \( A\cdot B \) wykonujemy działania \( i\cdot 0+1\cdot 3+0\cdot (-i)=3. \)
Twierdzenie 2: Własności iloczynu macierzy
- \( \alpha\cdot (A\cdot B)=(\alpha\cdot A)\cdot B=A\cdot(\alpha\cdot B); \)
- \( A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C; \)
- \( A\cdot(B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C. \)